三角函数综合问题选析

与三角函数的图象及性质有关的综合题历来都是高考的热点题型，Ggo江苏省大港中学

我们看以下几例：Ggo江苏省大港中学

例1、已知函数f (x)=4 sin²x＋2sin2x－2，x∈R，Ggo江苏省大港中学

    (1)求f (x)的最小正周期及f (x)取得最大值时x的集合；Ggo江苏省大港中学

(2)求函数f (x)的单调区间。Ggo江苏省大港中学

(3)求证：函数f (x)的图象关于直线 对称Ggo江苏省大港中学

分析：本题中出现了 和 ，可以联想到两个公式： ，Ggo江苏省大港中学

，经过尝试、比较及数学直觉，应该用 ，函数中的 不展开，这样得到 ，从而获得解题的思路。Ggo江苏省大港中学

本题（3）中欲证函数f (x)的图象关于直线 对称，只要证明对于任意x∈R，有  成立即可。Ggo江苏省大港中学

   解(1)：f (x)= 4sin²x＋2sin2x－2= 2sin2x－2 (1－2sin²x)= 2sin2x－2cos2xGgo江苏省大港中学

              =2  Ggo江苏省大港中学

    所以f (x)的最小正周期是π。Ggo江苏省大港中学

∵x∈R，所以 ，即 时，f (x)的最大值为 Ggo江苏省大港中学

即f (x)取得最大值时x的集合为 。 Ggo江苏省大港中学

 (2) ，Ggo江苏省大港中学

  ，Ggo江苏省大港中学

，Ggo江苏省大港中学

。Ggo江苏省大港中学

(3)证明： Ggo江苏省大港中学

     ∵ ，Ggo江苏省大港中学

       ，Ggo江苏省大港中学

∴ ，Ggo江苏省大港中学

   从而函数f (x)的图象关于直线 对称。Ggo江苏省大港中学

回顾与反思：本题（1）中对2sin2x－2cos2x的处理，用到辅助角公式：Ggo江苏省大港中学

其中 ，这个公式应该熟悉。Ggo江苏省大港中学

从而转化为 的形式，另外还要用到 。Ggo江苏省大港中学

（2）中用到函数 Ggo江苏省大港中学

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（3）本题中要证函数f (x)的图象关于直线 对称，即证： ，应联想到函数对称的性质： 若函数f (x)的图象关于直线 对称，则有： ，Ggo江苏省大港中学

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