师：前面我们已学习了函数的导数，也掌握了求函数极值的基本方法，并求了一些函数的极值，下面请同学们解决这个问题：eFu江苏省大港中学 求函数 的极值。eFu江苏省大港中学 学生看到这个问题，并不陌生，解题的激情很高，不一会学生完成了。于是将一学生的解题过程投影出来。eFu江苏省大港中学 师：大家看一下这位同学的解题过程，有什么想法可以补充。eFu江苏省大港中学 解： eFu江苏省大港中学 令 ，得x1=-1，x2=0，x3=1，所以f(0)＝0，f(-1)＝1，f(1)＝1为函数f(x)的极值。eFu江苏省大港中学 学生甲：他的解答总体不错，不过没有说明极大值和极小值，而且好像缺少点什么，对了，少了列表，如果补上列表就完整了。eFu江苏省大港中学 大部分学生都有同感，但也有同学有看法。eFu江苏省大港中学 学生乙：是少了列表，但补上列表，好像也有点问题，没有三个极值。eFu江苏省大港中学 师：好，将你的过程投出来，你给大家解释一下。eFu江苏省大港中学 解 ，令 ，得x1=-1，x2=0，x3=1，eFu江苏省大港中学 由－1，0，1函数的定义域分为四个部分，将 ， 在各个区间内的情况列表如下：eFu江苏省大港中学 xeFu江苏省大港中学 | eFu江苏省大港中学 | -1eFu江苏省大港中学 | （－1，0）eFu江苏省大港中学 | 0eFu江苏省大港中学 | （0，1）eFu江苏省大港中学 | 1eFu江苏省大港中学 | eFu江苏省大港中学 | eFu江苏省大港中学 | －eFu江苏省大港中学 | 0eFu江苏省大港中学 | －eFu江苏省大港中学 | 0eFu江苏省大港中学 | ＋eFu江苏省大港中学 | 0eFu江苏省大港中学 | ＋eFu江苏省大港中学 | eFu江苏省大港中学 | ↘eFu江苏省大港中学 | 无极值eFu江苏省大港中学 | ↘eFu江苏省大港中学 | 极小值eFu江苏省大港中学 | ↗eFu江苏省大港中学 | 无极值eFu江苏省大港中学 | ↗eFu江苏省大港中学 |
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由上表可以看出只有x=0是函数的极小值点。eFu江苏省大港中学 学生乙：我觉得函数的导数为零，并不一定是极值点，因为根据极值的定义，一个点要是极值点，它的导数值在这个点的两侧必须要异号，而在这个题中，在－1的两侧导数值都为负，在1的两侧导数值都为正，不符合极值的定义，因此，－1和1都不是极值点，只有在0处满足定义，所以说0是极值点。eFu江苏省大港中学 师：在他的解释过程中，有部分同学在不住的点头，看来我们同学已认可了，这位同学说得非常好，对定义的理解很深刻，分析得很到位。实际上以前学的函数 ＝x3就是一个最好的例子，在x=0处显然不是极值，但在x=0处它的导数值为零。现在大家再将这个题回味一下，看以后在解决这类问题时要注意些什么？eFu江苏省大港中学 学生：解题时应紧扣定义，不能省略列表判断导数为零的点左右导函数值的符号。eFu江苏省大港中学 师：对，函数的极值是表示函数 在一点附近的情况，即极值是在局部对函数值的比较，已知在区间上的极值可有若干个，而且有时极小值大于它的极大值。 ＝0是可eFu江苏省大港中学 |
